1、长期预测误差，本原上来自逐步累积之讯息损失 Koopman表征修习疑难于于，Koopman 表征并不只为像旧俗潜方位修习法门，比如Autoencoder、Variational Autoencoder，一样「学一名能重修输入之 latent」。
基于上面之剖析，论文进一步构造之一名讯息论驱动之 Lagrangian 宗旨，把互讯息、架构一致性项、重修项以及 von Neumann entropy 一统到一名可改良框架中（图2(a)）。
经济学。物理动力体系预测：如 Lorenz 63、Kármán vortex、Dam flow、ERA5 气象预测；高维视觉输入下之控制与表征修习：如 Planar、Pendulum、Cartpole；图架构动力学预测：如 Rope 与 Soft Robotics（如图1）。
上排较量之不同 baseline 法门于 latent space 中之轨迹分布，论文法门之 rollout 轨迹更接近单步预测，也更符合确凿动力学之极限圆演化架构；下排展示之 Koopman 谱分布，论文法门学到之特征值更多分布于单位圆附近，形成之更稳固之几何架构。
枢纽不再为能否找到一名线性化之潜方位，而为于有尽维约束下，哪些讯息为须被保留之，才能使动力学既可传播又可预测。
论文首先从讯息传播之角度剖析之 Koopman 潜方位传播之误差来源。
大多数全球模型工默认：只要学到一名好之 latent dynamics，疑难就处置之。
于此一视角下，Koopman 法门中之 simplicity 与 expressiveness 不再为调参阅历，而为被明确为一名讯息论上之改良宗旨。
Koopman 算子正为此样一种诱者之框架，它试图将繁体系嵌入潜方位，使其演化近似线性。
图5：于其余两类图架构与视觉输入动力学体系上之泛化表现。
然而，此种线性化并不为免费之，它依赖于一名精心构造之表示方位，而此名方位本身才为最难修习之部分。
2、不为所有讯息皆一样重要。
实验结局：不仅更准，而且更稳 此篇论文之切入点，为把此名疑难重新放回到讯息瓶颈（Information Bottleneck, IB）框架下体谅。
MI 项对应于Temporal Coherence，强调光阴上之稳固传播；线性 forward 一致性项对应于Structural Consistency，保证潜方位演化与 Koopman 线性架构一致；VNE 项对应于Predictive Sufficiency，帮模型保留足够丰富之有效模态；再结合 reconstruction / ELBO 项，使整名模型能够于实际操练中稳固改良。
左为图架构动力学场景，以带有噪声之 Rope 与 Soft Robotics 两名差事为例；右为视觉输入场景，以 Planar、Pendulum 与 Cartpole 控制差事为例。
最左列为确凿物理场，最右列为本文法门之预测结局。
论文发觉，MI之确会优先把讯息分发给最稳固、最有收益之少数模态，但此也会带来副作用：讯息过度集中到几名 dominant modes 上，导致潜方位有效维度降，现mode collapse。
英国University College London (UCL) 博士程小远、新加坡Nanyang Technological University (NTU) 博士元文瑄(master project)，为本文共同第一作者；法国Institut Polytechnique De Paris 程思博教授、美国Santa Fe Institute 施密特学者章元肇等，为本文协作者，上海财经大学助理教授孙卓，为本文通讯作者。
它之作用，不为简再加一名正则项，而为尽量免除模态讯息过度集中，让潜方位保必要之模态多样性。
Temporal Coherence：潜方位表示要能稳固地随光阴传播；Structural Consistency：潜方位中之演化要尽量符合 Koopman 之线性架构；Predictive Sufficiency：表征里要保留足够多、足够枢纽之动力学模式，才能支撑长期预测。
此篇工之重要性，于于它把 Koopman 表征修习从一名技巧性法门，重新嵌入到全球模型之基本疑难之中。
断语甚直观： 一名自之思路为：若非线性动力学难以建模，能否把它转变为线性疑难。
截至发稿，华勤技艺报86.5港元/股，较发行价涨11%，总市值约929亿港元。
图6： Kármán vortex 差事上之 latent space 几何分布与 Koopman 谱架构可视化。
1、若 latent 保留之讯息太多，表征会更丰富，但甚难维持简稳固之线性架构； 对应到 Koopman learning，此里形成之一名动态之讯息瓶颈公式： 全球模型于Koopman表征下难之，不只为「学一名 latent」 论文地址：https://openreview.net/forum?id=Szh0ELyQxL代码地址：https://github.com/Wenxuan52/InformationKoopman 此就带来之两名需权衡之疑难： 为什么互讯息重要，但只靠互讯息还不够。
但只能通过互讯息来量化error还不够，因此只能告诉吾等损失之多少，却不能告诉吾等损失之为哪一类讯息。
相比易现谱倒退与轨迹漂移之 baseline，加入 MI 与 VNE 后，模型学到之特征模态更加稳固，长期轨迹也更接近确凿动力学架构。
此项工从动态讯息瓶颈之角度重新审视 Koopman 表征修习，明确 Koopman learning 真正所需之讯息，并据此构造出一名可改良之宗旨。
简来说，此篇论文之核心洞察就为：MI 负责保住「对之模态」，VNE 负责保住「足够多之模态」（图2(c)）。
彼么，一名甚自之想法为：既然temporal-coherentinformation最重要，彼为不为只要尽量增大此部分互讯息就够之。
于有尽容量下，一名好之 Koopman 表征，到底该保留什么讯息。
也就为说，该论文将 "一名好之 Koopman 表征该保留什么讯息" 此名疑难，转换成之一名可改良之操练宗旨。
消博会。故，该论文真正想回答之疑难不为 "再加一名模块"，而为顺之此名Trade-off： 图2：讯息论 Koopman 框架。
更重要之为，此名宗旨与 Koopman learning 之三名核心性质为一一对应之（图3）： 结局表明，此套法门于短期与长期预测误差上优于多种 Koopman baseline（图4与5）。
上方为从理论剖析得到之一统 Lagrangian：由互讯息项、von Neumann entropy项、重构项共同构成；下方为对应之可操练宗旨，进一步对应到 Koopman 表征修习中之三名性质。
全球模型关之从来不为表示本身，而为一名表示为否包含足够之讯息去支动力学之预测与控制。
相较量而言，它还需同时知足三名更强之性质： 针对质疑，上述客服者员表示，已将相关疑难回馈至上级与相关技艺部门，将进一步之解实在情况并改良相关机制。
图3：提出之Information-shaped Koopman 宗旨及其可改良样貌。
3、只最大化 MI，会导致 mode collapse 从讯息瓶颈角度看待修习动力学之疑难 因此，真正之核心疑难不为如何修习一名隐变量表征，而为：于有尽维表示中，究竟哪些讯息须被保留，才能支撑稳固之动力学传播与长期预测。
围绕此名宗旨，论文给出之三名相互衔接之理论断语。
此一思路于物理表示、气象预测与流体控制中具有极强吸引力。
但此名设想本身为可疑之——什么样之讯息，才足以支撑一名可预测、可传播之动力学。
目前，该成果已被 ICLR 2026 Oral 接收。
2、若压缩得太狠，又易丢掉长期预测真正需之枢纽模态。
(a) 带有 Information-shaped 改良宗旨之 Koopman 表征修习架构总览；(b) Koopman 模态与互讯息项对应关系；(c) 互讯息（MI）与冯·诺依曼熵（VNE）对模态中讯息分发之水填充效应。
图4：全球气象场包括寰宇重力势能、温度、湿度与风速。
彼么核心宗旨就变成：修习一种 Koopman representation ，使其对前景状态具有最大之线性可预测性（Relevance↑），同时保尽或架构紧凑（Complexity↓）。
本文从讯息论出发，重新审视此一先决。
为此，UCL、ICL、Santa Fe Institute、Institut Polytechnique De Paris、上海财经大学最新联手提出Information Shapes Koopman Representation。
此意味之，Mutual Information（互讯息，MI）直接关系到 Koopman 表征能够保住多少预测本领。
经典之讯息瓶颈强调：一名好之表征，并不为尽量把输入中之所有讯息皆搬进 latent，而为于压缩之同时，保留对下游差事最重要之讯息。
图1：软体机器者之模拟以及控制 当原始非线性体系被 Koopman 表征近似时，每一步传播皆会损失一部分预测相关之讯息，而长光阴预测误差，就为此些小损失一步步累积起来之结局。
因而疑难生之转变。
从理论走向算法：一名真正「information-shaped」之 Koopman 宗旨 实验部分，论文于三类差事上验证之此套法门： 尤其为于 Kármán vortex 之可视化中，于谱性质与manifold 架构上，论文展示之一名甚有说服力之表象（图6）： 为之缓解此名疑难，论文又引入之von Neumann entropy（VNE）。
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